Torna alla Home Page
Analisi Matematica II per C.D.L. Matematica
A.A. 2020/2021 - Diario del Corso
docente: Emanuele Callegari (Università di Roma Tor Vergata)
codocente: Fabio Ciolli (Università di Roma Tor Vergata)
vedi anche: Team del corso,
Corso anno scorso e
Pagina Codocente.
INFO:
Corso
Esami
Prove Scritte:
Esonero
App1
App2
App3.
App4.
Prove Simulate:
[5]
[6]
[7].
Lezione 1
(Callegari - 8 Marzo 2021 - ore 9:00-11:00)
Definizione di Partizione e di Somme di Riemann.
Ordinamento parziale delle partizioni.
Comportamento di Somme di Riemann quando si raffina la partizione.
Definizione di integrale inferiore e superiore.
Definizione di integrale di Riemann.
Esempi: non integrabilità di Funzione di Dirichlet.
Materiale didattico:
PDF Lez. 1 (2020)
Lezione 2
(Ciolli - 8 Marzo 2021- ore 14:00-16:00)
Numeri complessi.
Materiale didattico:
Lezione,
Esercizi
Lezione 3
(Callegari - 8 Marzo 2021 - ore 11:00-13:00)
Due condizioni equivalenti all'integrabilità.
Calcolo dell'integrale di e^x su [0,1] usando solo la definizione.
Combinazioni lineari di funzioni integrabili sono ancora integrabili.
Se f e g sono integrabili allora lo sono anche f^+, f^-, |f|, Max{f,g} e Min{f,g}.
Monotonia dell'integrale.
Disuguaglianza dell'integrale del modulo.
Additività dell'integrale di Riemann sugli intervalli.
Integrale sull'intervallo orientato e ancora proprietà di additività.
Integrabilità delle funzioni continue e di quelle monotone.
Materiale didattico:
PDF Lez. 2 (2020)
Lezione 4
(Callegari - 12 Marzo 2021 - ore 9:00-11:00)
Esercitazione. Svolti i problemi 2c, 3c e 4 della lista 2020 e i problemi 1a 1b e 3 della lista 2021.
Gli studenti sono invitati a provare a risolvere i restanti problemi della lista 2021 prima del ricevimento studenti di
Giovedì 18 Marzo, visto che in tale data saranno pubblicati anche gli svolgimenti.
Materiale didattico:
Prob(2020),
Prob(2021),
Soluz(2020).
Soluz(2021).
Ricevimento Studenti 1
(Callegari - 12 Marzo 2021 - ore 16:00-18:00)
Su Teams. Ha sostituito il ricevimento studenti di Giovedì 11 Marzo (solo per questa settimana, per le altre
settimane il ricevimento torna al Giovedì dalle 14:00 alle 16:00)
Lezione 5
(Ciolli - 15 Marzo 2021- ore 9:00-11:00)
Numeri complessi e argomenti correlati
Materiale didattico:
vedi
Pagina Codocente.
Lezione 6
(Callegari - 15 Marzo 2021 - ore 14:00-16:00)
Verrano trattati gli argomenti elencati qui di seguito.
Funzione integrale.
Lipschitzianità della funzione integrale.
Derivabilità della funzione integrale nei punti di continuità dell'integranda (Teo. Fondamentale del C.I.).
Primitiva e caratterizzazione dell'insieme delle primitive
Conseguenze: calcolo dell'integrale attraverso la primitiva.
Integrazione per parti.
Esempi.
Materiale didattico:
Lez.3 (2020),
Lez.4 (2020),
Cose aggiunte nel 2021 ,
Video Lez 3 (2020).
Lezione 7
(Callegari - 17 Marzo 2021 - ore 11:00-13:00)
Tecniche di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Esempi notevoli.
Materiale didattico:
Lez.4 (2020)
Cose aggiunte nel 2021 ,
Ricevimento studenti 2
(Callegari - 18 Marzo 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 8
(Callegari - 19 Marzo 2021 - ore 9:00-11:00)
Funzione integrale con gli estremi che sono funzioni di classe C^1. Esempi.
Problema dell'estendibilità della funzione integrale sul bordo del dominio dell'integranda. Esempi.
Definizione di integrale improprio convergente, divergente e indeterminato. Esempi.
Integrale improprio su (a,b). Esempi.
Materiale didattico:
Lez.6 (2020)
Lez.7 (2020)
Lezione 9
(Ciolli - 22 Marzo 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi sugli integrali.
Materiale didattico:
Prob(2020),
Risp(2020).
vedi anche
Pagina Codocente.
Lezione 10
(Callegari - 22 Marzo 2021 - ore 14:00-16:00)
Il carattere di un integrale improprio non cambia pur cambiando l'estremo "buono".
Integrali impropri con integranda a segno costante.
Combinazioni lineari di funzioni integrabili in senso improprio.
Criterio del confronto. Esempi.
Criterio del confronto asintotico. Esempi.
Esempi notevoli: integrale di 1/x^a e di 1/x^a*ln^b(x) su [2,+infty).
Materiale didattico:
Lez.7 (2020)
Lez.8 (2020)
Cose aggiunte nel 2021 ,
Lezione 11
(Callegari - 24 Marzo 2021 - ore 11:00-13:00)
Esempi notevoli: integrale di 1/x^a e di 1/x^a*|ln(x)|^b su (0,1/2].
Ulteriori esempi di applicazione di criteri di confronto e confronto asintotico.
Definizione di funzione assolutamente integrabile.
Criterio dell'assoluta convergenza.
Esempio di funzione f tale che su [a,+infty) converge l'integrale di f ma non quello di |f|.
Funzioni periodiche a media nulla: periodicità della primitiva.
Materiale didattico:
Lez.8 (2020)
Lez.9 (2020)
Ricevimento studenti 3
(Callegari - 25 Marzo 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 12
(Callegari - 26 Marzo 2021 - ore 9:00-11:00)
Criterio di convergenza per funzioni oscillanti.
Nota su come gestire l'integrale oscillante se la componente periodica non è a media nulla.
Esempi di applicazione.
Esempi patologici: 3 funzioni integrabili su [0,+infty) che si comportano male per x->+infty.
Materiale didattico:
Lez.9 (2020)
Cose aggiunte nel 2021 ,
Lezione 13
(Ciolli - 29 Marzo 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri.
Materiale didattico:
ProbA(2020),
ProbB(2020).
RisuA(2020),
RisuB(2020).
vedi anche
Pagina Codocente.
Lezione 14
(Callegari - 29 Marzo 2021 - ore 14:00-16:00)
Criterio di Cauchy.
Esempio di applicazione del teorema di Cauchy.
Soluzioni della prova simulata.
Materiale didattico:
Lez.10 (2020)
Prova Simulata,
Materiale aggiuntivo:
Prob(2020),
Risu(2020),
Simu1(2020),
Simu2(2020),
SolSimu2(2020),
Video Prob.2 ,
Video Prob.4 .
Lezione 15
(Callegari - 31 Marzo 2021 - ore 11:00-13:00)
Serie: definizioni e primi esempi: serie di Mengoli, geometrica.
Proprieta' delle somme finite che non valgono per le serie.
Proprieta' elementari delle serie (vedi lista nel pdf della lezione).
Divergenza della serie armonica.
Criterio di Cauchy.
Esempio di utilizzo del criterio di Cauchy.
Materiale didattico:
Lez.11 (2020)
Ricevimento studenti 4
(Callegari - 1 Aprile 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 16
(Callegari - 2 Aprile 2021 - ore 9:00-11:00)
Serie a termini positivi.
Criterio del confronto.
Esempi.
Criterio del confronto asintotico.
Esempi.
Criterio dell'integrale.
Esempi.
Criterio della radice.
Criterio del rapporto.
Esempi.
Materiale didattico:
Lez.12 (2020)
Lezione 17
(Callegari - 7 Aprile 2021 - ore 11:00-13:00)
Svolti i problemi della prova simulata sugli integrali impropri.
Materiale didattico:
Prova Simulata,
Ricevimento studenti 5
(Callegari - 8 Aprile 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico proposto:
Lista Problemi.
Risposte.
Lezione 18
(Callegari - 9 Aprile 2021 - ore 9:00-11:00)
Criterio della convergenza assoluta.
Esempi.
Criterio di Leibniz.
Esempi.
Criterio di Abel.
Esempi.
Criterio del confronto di rapporti
Esempio di serie dove a_n è definita per ricorrenza.
Materiale didattico:
Lez.13 (2020)
Lez.14 (2020)
Lezione 19
(Ciolli - 12 Aprile 2021- ore 9:00-11:00)
Serie di potenze.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 20
(Callegari - 12 Aprile 2021 - ore 14:00-16:00)
Criterio di Gauss ed esempio di utilizzo.
Svolgimento dei problemi 27, 28, 29, 30, 31, 32 e 34 della lista del Ricevimento Studenti 5.
n^(an)=o(n!) se a è minore di 1.
Materiale didattico:
Complementi di teoria .
Lezione 21
(Callegari - 14 Aprile 2021 - ore 11:00-13:00)
Serie di e^z.
Svolti i problemi 6, 9 e 12 della lista allegata alla lezione.
Svolti i problemi 5, 12 e 13 della lista allegata al ricevimento studenti 6.
Materiale didattico:
Complementi di teoria .
Lista Problemi.
Risposte.
Ricevimento studenti 6
(Callegari - 15 Aprile 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico proposto:
Lista Problemi.
Risposte.
Lezione 22
(Callegari - 16 Aprile 2021 - ore 9:00-11:00)
Relazione tra criterio del rapporto e della radice.
Esercizio sulle serie di potenze.
Esercizi 6, 3 e 15 della lista del ricevimento studenti 6.
Materiale didattico:
Lez.14 (2020)
Lezione 23
(Ciolli - 19 Aprile 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi sulle serie di potenze.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 24
(Callegari - 19 Aprile 2021 - ore 14:00-16:00)
Criterio di condensazione ed esempio di utilizzo.
Svolgimento dei problemi 23, 25, 26, 27, 28 e 29 della lista del Ricevimento Studenti 6.
Materiale didattico:
Complementi di teoria .
Lezione 25
(Callegari - 21 Aprile 2021 - ore 11:00-13:00)
Problemi 1 e 2 di 2020-S2 e 2020-S5.
Problema 2 di 2020-S6.
Materiale didattico:
2020-S2.
2020-S5.
2020-S6.
Ricevimento studenti 7
(Callegari - 22 Aprile 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 26
(Callegari - 23 Aprile 2021 - ore 9:00-11:00)
Problemi 20, 21, 24 e 23 della lista allegata.
Problemi 1 e 2 di 2020-S3.
Materiale didattico:
2020-S3.
Lista Problemi.
Lezione 27
(Ciolli - 26 Aprile 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi di riepilogo per l'esonero.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 28
(Callegari - 26 Aprile 2021 - ore 14:00-17:00)
Primo Esonero.
Materiale didattico:
Testo e Soluzioni.
Lezione 29
(Callegari - 28 Aprile 2021 - ore 11:00-13:00)
Definizione di norma euclidea, norma 1 e norma infty, in R^n e verifica che sono davvero norme.
Distanze indotte dalle norme appena definite.
Intorni definiti a partire dalle distanze appena definite.
Equivalenza delle 3 norme.
Equivalenza delle basi di intorni definite attraverso le 3 norme.
Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati (definizione ed esempi)
Definizione di insieme aperto, chiuso, denso, discreto, limitato.
Materiale didattico:
Lez.29 (2020)
Ricevimento studenti 8
(Callegari - 29 Aprile 2021 - ore 14:00-15:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 30
(Callegari - 30 Aprile 2021 - ore 9:00-11:00)
Definizione di limite di una successione in R^n.
Teorema: caratterizzazioni equivalenti per gli insiemi chiusi.
Equivalenza tra esisenza del limite di una successione in R^n e quella delle sue componenti.
Successioni di Cauchy in R^n: definizione ed equivalenza con convergenza.
Compatti in R^n: definizione ed equivalenza con chiusi e limitati.
Esempio di insieme chiuso e limitato ma non compatto in uno spazio metrico diverso da R^n.
Materiale didattico:
Lez.29 (2020)
Lez.30 (2020)
Cose aggiunte nel 2021
Problemi proposti
Soluzioni.
Lezione 31
(Ciolli - 3 Maggio 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi di topologia di R^n.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 32
(Callegari - 3 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Definizione di convessi, connessi e connessi per spezzate.
Equivalenza tra essere connesso ed essere connesso per spezzate nel caso di insiemi aperti.
Esempio: gli intorni sferici sono convessi e quindi anche connessi.
Esempio di insieme connesso ma non connesso per spezzate.
Definizioni di limite per funzioni da R^n a R^m (limite finito o infinito e per x->x_0 o x->\infty).
Definizione di funzione continua.
Esempi elementari.
Teorema operazioni sui limiti ed esempio di applicazione.
Materiale didattico:
Lez.30 (2020)
Lez.31 (2020)
Lezione 33
(Callegari - 5 Maggio 2021 - ore 11:00-13:00)
Teorema dei limiti su restrizioni. Esempio di applicazione. Esempio cattivo.
Teorema del confronto. Esempio di applicazione.
Teorema sul limite di funzioni composte. Esempio di applicazione.
Teorema Ponte.
o-piccoli. Esempi.
Funzioni positivamente omogennee di grado zero, definizione, proprietà e utilizzo nel calcolo dei limiti.
Materiale didattico:
Lez.31 (2020)
Lez.32 (2020)
Ricevimento studenti 9
(Callegari - 6 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico:
Lista A Problemi,
Risposte,
Lista B Problemi,
Risposte.
Lezione 34
(Callegari - 7 Maggio 2021 - ore 9:00-11:00)
Esempio di non esistenza limite.
Definizione di omeomorfismo.
Teorema sull'utilizzo degli omeomorfismi per i cambi di variabile nei limiti.
Esempio di utilizzo.
Limite (e continuità) componente per componente.
Esempio cattivo.
Esempio di utilizzo dell'algebra degli o-piccoli.
Definizione di funzione uniformemente continua e di funzione lipschitziana (e legame tra le due cose).
Teorema di Heine Cantor.
Materiale didattico:
Lez.33 (2020)
Lez.34 (2020)
Lezione 35
(Ciolli - 10 Maggio 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi sui limiti di funzioni definite su R^2.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 36
(Callegari - 10 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Teorema degli zeri.
Proprietà delle funzioni uniformemente continue: sublinearità ed estendibilità alla chiusura con continuità.
Derivabilità (derivata direzionale e derivata parziale).
Esempi di calcolo.
Esempio di funzione derivabile ma non continua.
Differenziabilità.
Teorema: f differenziabile -> f continua e derivabile.
Gradiente.
Materiale didattico:
Lez.34 (2020)
Lezione 37
(Callegari - 12 Maggio 2021 - ore 11:00-13:00)
Esempi di funzioni differenziabili e non differenziabili.
Teorema del differenziale totale.
Funzioni di Classe C^1, definizione e relazione con differenziabilità.
Derivate seconde.
Teorema di Schwarz.
Esempi (sia buoni che cattivi)
Matrice Hessiana (simmetria in caso di continuità delle derivate miste)
Materiale didattico:
Lez.35 (2020)
Ricevimento studenti 10
(Callegari - 13 Maggio 2021 - ore 14:00-16:30)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico:
Lista A Problemi,
Risposte,
Lista B Problemi,
Prova Simulata,
Soluzioni,
Lezione 38
(Callegari - 14 Maggio 2021 - ore 9:00-11:00)
Matrice Jacobiana.
Teorema sulla derivata di funzioni composte: caso f(X(t)) con X:R->R^n e f:R^n->R.
Teorema sulla derivata di funzioni composte: caso f(X(t)) con X:R^k->R^n e f:R^n->R.
Teorema sulla derivata di funzioni composte: caso generale.
Materiale didattico:
Lez.36 (2020)
Lezione 39
(Ciolli - 17 Maggio 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi su funzioni in più variabili.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 40
(Callegari - 17 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Definizione di soluzione di equazione differenziale del primo ordine, di problema di Cauchy, di equazione integrale.
Esempi.
Equivalenza tra equazione integrale e problema di Cauchy.
Teorema di esistenza e unicità locale (senza dimostrazione).
Teorema di unicità globale.
Equazioni a variabili separabili.
Esempi.
Materiale didattico:
Lez.40 (2021)
Lez.21 (2020)
Lezione 41
(Callegari - 19 Maggio 2021 - ore 11:00-13:00)
Esempio di problema di Cauchy senza unicità.
Svolgimento dei problemi 1,2,3,4 e 6 della lista proposta aggiunta quest'anno
Materiale didattico:
Lez.21 (2020),
Lista Problemi (2021),
Lista Problemi (2020),
Soluzioni (2020).
Ricevimento studenti 11
(Callegari - 20 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico:
Lezione 42
(Callegari - 21 Maggio 2021 - ore 9:00-11:00)
Definizione di prolungamento e di soluzione massimale.
Teorema di esistenza della soluzione massimale.
Teorema di prolungabilità fuori dai compatti.
Esempio di applicazione ad uno studio qualitativo.
Materiale didattico:
Lez.42 (2021)
Lez.22 (2020)
Lezione 43
(Ciolli - 24 Maggio 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi su equazioni a variabili separabili.
Materiale didattico:
Pagina Codocente.
Lezione 44
(Callegari - 24 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Conclusione studio qualitativo della lezione precedente.
Definizione di soprasoluzione e sottosoluzione.
Teoremi della soprasoluzione e sottosoluzione (caso stretto).
Teorema del confronto.
Esempio di applicazione a studio qualitativo.
Materiale didattico:
Lez.44 (2021)
Lezione 45
(Callegari - 26 Maggio 2021 - ore 11:00-13:00)
Ulteriori esempi di eq differenziali a variabili separabili.
Definizione di eq. differenziale lineare di ordine n, omogenea e non.
Teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali lineari.
Dimensione dello spazio delle soluzioni di eq. omogenea.
Soluzione generale di eq. non omogenea.
Esempio di soluzione di eq. lineare non omogenea del primo ordine.
Soluzione generale per equazioni diff. lineari del I ordine omogenee e non omogenee; metodo della variazione delle costanti.
Materiale didattico:
Lez.23 (2020),
Ricevimento studenti 12
(Callegari - 27 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico:
Lezione 46
(Callegari - 28 Maggio 2021 - ore 9:00-11:00)
Derivata di f:R->C, definizione, proprietà principali, derivata di e^(ax) con a complesso.
Richiamo sul teo. Fondamentale dell'algebra. Caso in cui i coefficienti del polinomio sono reali.
Definizione di eq. diff. lineari a coefficienti costanti, polinomio caratteristico e operatore lineare associato.
Teorema: l'operatore lineare dato dalla composizione di due operatori differenziali lineari a coeff. costanti ha come polinomio associato il prodotto dei due polinomi.
Corollario: la composizione di operatori differenziali lineari a coefficienti costanti è commutativa.
Proprietà di calcolo degli operatori differenziali a coefficienti costanti del primo ordine.
Teorema sulla base per lo spazio delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti (sia caso complesso che caso reale)
Materiale didattico:
Lez.24 (2020)
Lez.25 (2020)
Prova Simulata(Variabili separabili),
Lezione 47
(Callegari - 31 Maggio 2021- ore 9:00-11:00)
Esempio introduttivo al metodo degli annichilatori per determinare una sol. particolare di un'eq. lineare non omogenea
a coeff. costanti.
Metodo degli annichilatori: caso b(x)=q(x)e^(ax).
Metodo degli annichilatori: caso b(x)=q(x)e^(ax)cos(bx) (o sin(bx)).
Materiale didattico:
Lez.26 (2020)
Lezione 48
(Callegari - 31 Maggio 2021 - ore 14:00-16:00)
Esercizi di studi qualitativi di problemi di Cauchy.
Materiale didattico:
Ricevimento studenti 13
(Callegari - 3 Giugno 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Materiale didattico:
Svolgimento Prova Simulata 3 (Variabili separabili),
Lezione 49
(Callegari - 4 Giugno 2021 - ore 9:00-11:00)
Matrice wronskiana.
Relazione tra determinante wronskiano e indipendenza delle soluzioni omogenea.
Metodo della variazione delle costanti (caso generale).
Esempio di applicazione.
Materiale didattico:
Lez.27 (2020)
Prova Simulata 4 (Equazioni differenziali)
Lezione 50
(Callegari - 7 Giugno 2021- ore 9:00-11:00)
Esercizi sulle Equazioni Differenziali
Materiale didattico:
Prova Simulata EquaDiff(2020),
Soluzioni,
Lezione 51
(Callegari - 7 Giugno 2021 - ore 14:00-16:00)
Esercizi sulle Equazioni Differenziali
Materiale didattico:
Lezione 52
(Callegari - 9 Giugno 2021 - ore 11:00-13:00)
Soluzioni della Quarta Prova Simulata.
Materiale didattico:
Materiale didattico aggiuntivo:
Prova Simulata 5 (2021)
Ricevimento studenti 14
(Callegari - 10 Giugno 2021 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 53
(Callegari - 11 Giugno 2021 - ore 9:00-11:00)
Completamento degli svolgimenti dei problemi della Quinta Prova Simulata (parzialmente svolta al ricevimento studenti)
e svolgimento di alcuni problemi simili a quelli della Sesta Prova Simulata, che viene lasciata da svolgere
agli studenti (le soluzioni di quest'ultima verranno date nel prossimo ricevimento studenti.
Materiale didattico:
Prova Simulata 6 (2021)
Torna alla Home Page